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Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de dos o más factores. Por ejemplo:

Existen tres procedimientos que pueden permitirnos realizar esta transformación:

  1. Sacar factor común.
  2. Utilizar las identidades notables.
  3. La división exacta (los factores serían el divisor y el cociente resultante):

Ampliación (voluntario): Para este último procedimiento será necesario conocer la regla de Ruffini para dividir un polinomio por (x – a) y el método de encontrar divisores, de la forma (x – a), para polinomios con coeficientes enteros. Puedes verlo en el siguiente vídeo:

En el siguiente enlaces encontrarás un documento (en pdf) con ejercicios para practicar los procedimientos anteriores:

Ejercicios sobre factorización de polinomios.

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La invención del álgebra se debe a los árabes. La obra Aljabr w’al muqabalah, debida al matemático al-Jwarizmi que vivió en Bagdad hacia el año 825, se considera el primer tratado sobre álgebra.

La llegada del álgebra a Europa vino unida a la expansión del imperio árabe, y el consiguiente trasvase cultural desde el mundo islámico a la Península Ibérica, que tuvo lugar durante los siglos X a XIII y cuyo núcleo fue la ciudad de Toledo.

El lenguaje algebraico consiste en expresiones que contienen números y letras que representan números. La gran utilidad del álgebra está precisamente en eso: poder representar con letras un conjunto de valores numéricos, permitiéndonos manejarlos de forma más sencilla.

El álgebra permite utilizar fórmulas (esas expresiones algebraicas tan útiles en física y otras ciencias), pero también situaciones de la vida cotidiana (p.ej. El horario de Nueva York está 6 horas retrasado respecto al de Cáceres; entonces si en Cáceres son las x hrs., en NY son las x-6 hrs.) y otras muchas cosas…
Usar letras como símbolos numéricos no es algo trivial y requiere capacidad de pensamiento abstracto (algo que según los psicólogos los niños no desarrollan hasta los 11 ó 12 años):

Chiste

Así que comprender y utilizar el lenguaje algebraico cuando sea necesario no es mal comienzo para desarrollar tu competencia matemática.

Yendo a cosas más concretas, si necesitas practicar la traducción de enunciados a expresiones algebraicas, puedes consultar las direcciones siguientes:

Test online 1.

Test 2 (archivo flash de Anaya).

La tierra está formada por muchas partes que interactúan entre sí, formando un sistema complejo. El ciclo de las rocas nos permite examinar muchas de estas interacciones. Nos ayuda a entender el origen de las rocas ígneas, sedimentarias y metamórficas y a ver que cada tipo está vinculado a los otros por los procesos geológicos que actúan sobre y en el interior del planeta.

El magma, material fundido que se forma en el interior de la Tierra, acaba por enfriarse y solidificarse. Este proceso puede ocurrir bajo la superficie terrestre (formándose rocas plutónicas) o en la superficie, tras una erupción volcánica (rocas volcánicas). En ambos casos, las rocas resultantes se denominan rocas ígneas.

Si las rocas ígneas afloran a la superficie terrestre, experimentarán los procesos de meteorización, erosión, transporte y sedimentación debido a la acción de los agentes geológicos externos (aguas superficiales, glaciares, viento u olas).

A continuación, los sedimentos depositados en las cuencas de sedimentación (los océanos en la mayoría de los casos), mediante procesos de compactación y cementación, se transforman en rocas sedimentarias.

Si la roca sedimentaria se entierra profundamente dentro de la tierra, estará sometida a grandes presiones o a un calor intenso o a ambas cosas. Reaccionará ante el ambiente cambiante y se convertirá en una roca metamórfica.

Cuando la roca metamórfica a cambios de presión adicionales o a mayores temperaturas, se fundirá, creando de nuevo un magma.

Además del ciclo litológico básico, descrito arriba, existen otras vías posibles (indicadas con flechas delgadas en la figura).

Realiza un comentario sobre la imagen anterior, explicando los procesos y materiales representados por los números en la figura.

De todos los procesos que modifican el relieve de la superficie terrestre, los que tenen lugar en su exterior son los más fáciles de observar: son los llamados procesos geológicos externos.

Estos proceos son causados por los agentes geológicos externos: ríos y aguas salvajes, glaciares, el movimiento del mar, el viento y las aguas subterráneas.

Realiza un comentario sobre la imagen anterior, explicando los agentes y procesos geológicos representados.

En el siguiente enlace:

http://www.anayainteractiva.com/eso.html

visualiza en el navegador el archivo de animación, en formato flash, titulado Formación del suelo.

En el proceso de formación de los suelos, que puede durar varios cientos de años, dependiendo de las características climatológicas del lugar, podemos distinguir una serie fases:
– Meteorización de la roca madre (acción mecánica por hielo, temperatura, etc.).
– Acción química inorgánica (agua, sales minerales).
– Acción biológica (descomposición de materias por los seres vivos que colonizan el suelo, tales como bacterias, hongos o protozoos).
– Acción conjunta de todos las materias orgánicas e inorgánicas.


1-Roca madre; 2-Acción mecánica de la atmósfera; 3-Acción química del agua y de sus sales minerales; 4-Acción de los seres vivos; 5-Acción conjunta de materias orgánicas e inorgánicas.

Estos procesos de formación del suelo y la evolución del mismo originan la separación de distintos horizontes o capas, cada uno con unas características propias:

Realiza un comentario sobre la imagen anterior, explicando las tres etapas sucesivas mostradas y el significado de las letras.

Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, le llamaron pi (Π) -“Pi” de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo. Pi no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, tiene infinitas cifras decimales sin repetirse ninguna de forma periódica.

A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4(8/9)²; y en China 3,1724. Sin embargo, fue en Grecia donde la relación entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido se ajustara casi con el círculo.

El método de Arquímedes:

Arquímedes (287-212 A.C.) reúne y amplía los resultados anteriores y da unas aproximaciones de pi, tanto por exceso como por defecto. Para ello usó el método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas de pi. Utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Obtuvo así la siguiente aproximación de pi: 3,14084 < Π < 3,14285.

En el siguiente vídeo puedes ver de forma simplificada el método empleado:

El método de Arquímedes fue utilizado con variantes durante muchos siglos mejorando sucesivamente las cifras de pi. Tuvo que llegar Newton (s. XVII), creador del Análisis junto con Leibniz, para obtener pi de una manera diferente. A partir de ese momento es el Análisis la herramienta para el cálculo de pi. William Shanks en 1873 da pi con 707 cifras y su compatriota D. F. Ferguson tiene la moral de comprobar que está equivocado a partir de la cifra 527, y da el resultado correcto con 710 cifras.

En el siglo XX, la aparición de las computadoras revoluciona el cálculo de pi. En 1949 el ENIAC, ordenador que haría sonreir a los niños de hoy día, da pi con 2037 cifras. Sucesivamente se obtienen 16000 en 1959, un cuarto de millón en 1966, 500 millones más o menos en 1980.

Y la historia continúa…

En este enlace puedes ver Pi con 16000 decimales.

El interior de nuestro planeta sigue oculto a nuestra observación directa (las perforaciones más profundas no han llegado más allá de unos pocos de kilómetros). Los métodos indirectos de estudio del interior terrestre (estudio de las propiedades físicas del planeta, de la propagación de las ondas sísmicas de los terremotos y de los meteoritos) han proporcionado a los geofísicos gran cantidad de datos a partir de los cuáles han propuesto dos modelos para el interior terrestre: el modelo geoquímico y el modelo geodinámico.

El modelo geoquímico se basa en la composición química de las rocas y establece tres capas: corteza, manto y núcleo.

El modelo geodinámico se establece en función al comportamiento físico de los materiales y distingue cuatro capas: litosfera, astenosfera, mesosfera y endosfera.

modelos

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